Buongiorno a tutti, poichè ricevo continue richieste di scrivere articoli di scienza del suono riflettevo sulla possibilità di scrivere anche un percorso propedeutico di matematica in modo da consentire a chi ne fosse digiuno, di poter poi comprendere meglio il linguaggio musimatico e fisico che è alla base della scienza del suono e di molte discipline connesse alla tecnologia musicale. Pertanto inizierò una serie di articoli dedicati alla matematica che spero possano essere interessanti ed utili.
- tipologia di numeri (naturali, interi)
Ogni linguaggio ha il suo alfabeto costituito da simboli e quello matematico è fatto di numeri.
I numeri naturali sono i numeri interi non negativi (è incluso lo zero) che si creano utilizzando le combinazioni delle cifre del sistema di numerazione decimale (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Il nostro sistema numerico è di tipo posizionale ovvero la posizione della cifra nella parola matematica ne determina il peso. Ecco che ad esempio nel numero 358 il 3 rappresenta le centinaia, il 5 le decine e l’8 le unità.
I numeri naturali, essendo ordinati, possono essere rappresentati su un asse orientato partendo dal più piccolo (lo zero) fino al più grande nel verso dell’asse e ognuno di essi occupa una posizione equidistanziata rispetto al numero precedente e quello successivo (si dice che è una rappresentazione discreta o quantizzata nel senso che tra un numero naturale e il successivo o precedente non ci sono altri valori).
I numeri interi sono un’estensione dei numeri naturali aggiungendo ad essi quelli negativi e pertanto espandono l’asse precedentemente rappresentato anche nella direzione opposta.
I numeri negativi sono numeri naturali preceduti dal segno meno. Mentre le cifre maggiori positive sono più gradi rispetto a quelle minori (15 > 7, 230 > 134) succede esattamente il contrario per quelle negative (-15 < -7, -230 < -134).
2. le operazioni aritmetiche principali
Le quattro operazioni dell’aritmetica sono: l’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione.
Nelle operazioni aritmetiche tra i numeri interi si utilizza collocare i numeri negativi tra parentesi.
7 + (-3), 14 – (-8), (-3) * 6, 12 * (-2)
L’addizione tra due o più numeri restituisce un numero che rappresenta la loro somma mentre la sottrazione la loro differenza. Sommare un numero negativo equivale a sottrarne l’equivalente positivo: 7 + (-2) = 7 – 2. Sottrarre un numero negativo equivale a sommarne l’equivalente positivo: 7 – (-2) = 7 + 2.
la moltiplicazione tra due numeri fornisce il loro prodotto mentre la divisione il loro quoziente. La moltiplicazione e la divisione tra due numeri positivi o due numeri negativi restituisce un numero positivo mentre quando viene effettuata tra un numero positivo ed uno negativo restituisce un numero negativo.
15 * 3 = 45 , (-15) * (-3) = 45
(-15) * 3 = -45 , (15) * (-3) = -45
Utilizzando le parentesi nelle operazioni matematiche si possono stabilire delle priorità nel loro svolgimento. Vediamo alcuni esempi:
7 * (4 – 2) = 14 , (7*4) – 2 = 26
Come si può osservare prima occorre svolgere l’operazione contenuta nella parentesi e poi quella esterna. Possono essere utilizzate anche parentesi indentate all’interno di altre parentesi:
15 * (2 +(5 * (-2))) = 15 * (2 – 10) = 15 * (-8) = -120
3. Le proprietà delle operazioni aritmetiche principali
Esistono tre proprietà che riguardano le operazioni aritmetiche: commutativa, associativa, distributiva.
Grazie alla proprietà commutativa due interi possono essere sommati o moltiplicati tra loro scambiando la loro posizione senza modificarne il risultato:
7 + 6 = 6 + 7 , 5 * 8 = 8 * 5
La sottrazione e la divisione non sono operazioni commutative in quanto l’ordine con cui i numeri compaiono in tali operazioni influenza il risultato:
La proprietà associativa afferma che nell’addizione e nella moltiplicazione il modo in cui 3 o più numeri vengono associati non influenza il risultato:
5 + (6 + 7) = (5 + 6) + 7
5 * (6 * 7) = (5 * 6) * 7
La sottrazione e la divisione non sono operazioni associative in quanto:
infatti 3 – (4 – 5) = 3 – (-1) = 3+1 = 4 mentre (3 – 4) – 5 = (-1) – 5 = -6
infatti l’operazione di sinistra fornisce 12 come risultato mentre quella di destra 3.
La proprietà distributiva regola le operazioni miste.
La moltiplicazione è distributiva sia nei confronti dell’addizione che della sottrazione:
4 * (5 + 6) = (4 * 5) + (4 *6) = 44
4 * (5 – 6) = (4 * 5) – (4 * 6) = -4
La divisione è distributiva rispetto all’addizione e alla sottrazione solamente se è collocata a destra di queste ultime, non il contrario:
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